多孔介质凭借复杂的孔隙网络和可观的比表面积在广泛的工业领域扮演着关键角色。多孔介质内的传输和反应现象是影响储能效率、催化性能和吸附率等基本信息参数的重要的条件。为了准确地描述这些复杂的输运和反应过程，必须求解参数化偏微分方程（PDE）。然而，由于多孔介质复杂的结构，传统的方法（如有限元法，FEM）需要大量的计算资源，迫切地需要创新的方法来加快对多孔介质中PDE的求解。研究者们开发了一种新型深度算子网络Porous-DeepONet能够高效捕捉多孔介质的复杂特征，从而更精确有效地学习解算子，为求解多孔介质中的参数化反应输运方程提供了一种替代方案。
深度算子网络（DeepONet）作为一种流行的深度学习框架，常用于解决PDE。然而，将DeepONet应用于孔隙介质面临显著挑战，因为其在从复杂结构中提取代表性特征方面能力有限。未解决这一问题，研究者提出了Porous-DeepONet，这是一种基于DeepONet框架的简单但高效的扩展，利用卷积神经网络（CNNs）学习孔隙介质中参数化反应传输方程的解算子。通过引入CNNs，可以有明显效果地地捕捉孔隙介质的复杂特征，以此来实现解算子的准确和高效学习。此外，研究者还将Porous-DeepONet 与其他DeepONet框架耦合，拓展出了适用于求解多孔介质中多物理场耦合方程的Porous-DeepM&Mnet和基于物理信息的Porous-PI-DeepONet。
图. 通过将DeepONet的域几何形状从简单的体相扩展到复杂的多孔结构，构建出Porous-DeepONet神经网络框架。
Porous-DeepONet架构由一个主干网络和一个或多个分支网络组成。Branch1网络用于提取多孔介质结构u(x, y)的潜在表示，Branch2网络用于提取参数化偏微分方程中其他参数的潜在表示。有必要注意一下的是，CNN被引入为Branch1网络。主干网络的作用是提取输入时空坐标(t, x, y)的潜在表示，在该坐标处评估输出函数G(u, )。然后，通过对每个子网网络的输出进行点积来获得连续和可微分的输出函数G(u, )(t, x, y) 。
为验证Porous-DeepONet在准确快速地学习具有不一样边界条件、多相和多物理场的参数化反应输运方程解算子方面的有效性，研究者进行了一系列全面的数值模拟。结果显示Porous-DeepONet在各种具有挑战性的条件下拥有准确捕获系统行为的能力，展示了其在模拟具有不一样反应参数和边界条件的复杂多孔介质方面的实际应用潜力。在解决相同问题时，Porous-DeepONet相较于传统的FEM方法快了3个数量级 。此外，当Porous-DeepM&Mnet基于Porous-DeepONet来求解PNP方程时，求解速度提高了约50倍。Porous-DeepONet成为了一个强大的工具，可用于解决多孔介质中PDE的求解问题，尤其在处理复杂域几何形状和多物理场耦合方程时表现出色。这一研究为相关领域的进一步探索和应用提供了有力支持。
综上所述，这项工作提出了Porous-DeepONet，这是一个深度学习框架，旨在学习多孔介质中PDE的解算子，重点是反应输运方程。相比传统的FEM，这种扩展可以明显提高求解效率。为了评估Porous-DeepONet的准确性和适用性，研究者求解了各种反应输运方程，包括Fick扩散方程、Fick扩散和表面反应方程、平流方程和热传导方程。根据结果得出，Porous-DeepONet能够高效求解具有复杂边界条件的单相和多相PDE，其计算时间比传统的有限元方法快3个数量级。此外，还将Porous-DeepONet与DeepM&Mnet相结合，以应对求解多物理场耦合PNP方程的挑战，从而将计算时间大幅度缩短了50倍。经过改进和优化，Porous-DeepONet成为了一个强大的工具，可用于解决多孔介质中PDE的求解问题，尤其在处理复杂域几何形状和多物理场耦合方程时表现出色。这一研究为相关领域的进一步探索和应用提供了有力支持。
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